В поисках числа лучше, чем у Шелдона Купера

Александр Клименков

кандидат технических наук, Tech Lead Bercut

Шелдон Купер — человек, который обожает свой разум

Сериал «Теория Большого взрыва» мало кого оставил равнодушным, как и его главный герой Шелдон Купер — гениальный физик-теоретик и доктор наук, программист с эйдетической памятью и интроверт, большой любитель правил и систематизации, идеального порядка и чистоты. Кстати, в нашей нынешней реальности зацикленность Шелдона на гигиене, обработка рук санитайзером и распыление антисептика на своих коллег и знакомых с малейшими признаками простуды нам уже не кажутся такими уж эксцентричными действиями.

Шелдон не только влюблён в науку, но и как истинный последователь Ричарда Фейнмана, постоянно изобретает множество увлекательных вещей, игр и занятий. Например, он придумал игру «Камень — ножницы — бумага — ящерица — Спок», трёхмерные шахматы и карнавальный костюм эффекта Доплера (его, правда, на той вечеринке все принимали за зебру).

Ещё Шелдон обожает пошутить (вспомним его «Бугагашеньку!» — Bazinga!), и по всем вопросам во Вселенной у него есть своё оригинальное мнение. Например: «Когда мы убиваем в детях способность критически мыслить, говоря, что кролики появляются из шляп, мы создаём взрослых, которые верят в астрологию и гомеопатию». Или как тут не вспомнить его замечательное высказывание «На моём новом компьютере стоит Windows 7. В ней более дружелюбный интерфейс, чем в Windows Vista. Мне это не нравится…».

Естественно, Шелдон, как и любой настоящий учёный, обожает математику и числа. Однажды он сказал, что «чувствует себя как функция арктангенса, которая приближается к асимптоте». В сериале есть множество смешных моментов, посвященных науке, и конечно же математических шуток. Одна из них — про любимое число Шелдона Купера.

Лучшее число — 73

Давайте вспомним, какие аргументы привёл Шелдон в защиту этого смелого утверждения. Итак:

• 73 — это 21-е простое число;
• зеркальные отражения, или переставленные местами разряды, 73 и 21 — это 37 и 12;
• при этом 37 — это 12-е простое число;
• перемножив цифры 73, можно получить 21;
• двоичное представление 73 — это 1001001, что является палиндромом.

В сериале это звучит эффектно, особенно в исполнении харизматичного Шелдона. Но, если это напечатать и перечитать внимательно, то аргументы выглядят не особо убедительно. Сразу возникает вполне резонный вопрос: почему сценаристы сериала выбрали именно это число в качестве любимого числа Шелдона? Неужели такой умный и гениальный учёный, в будущем лауреат Нобелевской премии, не смог найти число поинтереснее?

Ответ на этот вопрос я нашёл в книге Дэйва Зобеля «Теория Большого взрыва: наука в сериале». Оказывается, таким нехитрым способом сценаристы решили отметить 73-ий эпизод сериала, а заодно и упомянуть год рождения исполнителя главной роли Джима Парсонса — 1973. Всё встало на свои места, но число 73 от этого не стало более уникальным. Конечно, сами свойства числа выглядят занимательными. Более того, математики доказали, что 73 — это единственное число, обладающее указанными Шелдоном свойствами. Но можно ли подобрать более интересное число, у которого будет еще больше особенностей?

Лучшее число — 89

Новогодние каникулы — самое подходящее время для того, чтобы решать подобные задачи. Сначала у меня возникла идея написать программу, которая последовательно проверяла бы все числа на соответствие разным гипотезам. Гипотезы могли бы быть самыми разными. Самые простые: это вхождение числа в известные последовательности. Например, в ряд простых чисел или чисел Фибоначчи. Можно было придумать и что-нибудь посложнее. Например, сумма цифр числа является простым числом. Также интересно проверить на «особенность» первые вхождения рассматриваемого числа в дробную часть чисел e и pi. Таких гипотез можно придумать очень много. В итоге самым интересным будет число, для которого подтвердится наибольшее число гипотез.

Но неожиданно программу писать не пришлось. Чтобы поэкспериментировать с числами, я взял первое попавшееся число до 100, которое одновременно является простым числом и числом Фибоначчи. Им оказалось число 89. Для него я начал проверять разные пришедшие в голову гипотезы, и вот, что у меня получилось:

1. 89 — это простое число.
2. 89 — это 11-е число Фибоначчи. 11 — это тоже простое число.
3. Сумма цифр 8 + 9 = 17 — это тоже простое число.
4. 89² = 7921 — это число, хоть и не простое, но сумма его чисел — простое число 19.
5. Но, что интереснее, если число 7921 записать наоборот, то получится число 1297 — оно тоже простое.
6. В дробной части числа e число 89 впервые встречается на месте 218. Сумма цифр этого числа — тоже простое число 11. Кстати, про число 11 — смотри пункт 2.
7. Угадайте, на каком месте число 89 впервые встречается в дробной части числа π? На 11-м!
8. В двоичной форме число 89 записывается как 1011001. Если прочитать это двоичное число наоборот, то получится 1001101. Это число 77, которое является суммой первых восьми простых чисел. Согласен, по сравнению с предыдущими, этот пункт выглядит натянутым, но всё равно интересно.

Это те гипотезы, которые я проверил сразу. На моё удивление, все они дали положительный результат. Если само полученное число было ничем не примечательным, то я прибегал к уже испытанному Шелдоном способу — придумывал различные производные от числа (как, например, в случае с квадратом числа 89). Осечка случилась только в одной гипотезе — перемножение цифр 8 и 9 дало число 72. С ним я ничего такого сделать не смог. Хотя, постойте, давайте проверим, какое там 72-е простое число. Нет, опять мимо — 359 нам никак не подходит.

На этом идеи у меня кончились, и я пошёл в Википедию за дополнительной информацией. Оттуда я почерпнул ещё два пункта:

1. 89 равняется сумме 8 в первой степени и 9 во второй степени.
2. 89 — это число Маркова — вместе с числами 1 и 34 оно является решением уравнения x²+y²+z²=3xyz.

Думаю, моё число является гораздо более замечательным, чем число Шелдона Купера! Заметьте, я специально не выбирал число, просто взял первое, показавшееся мне интересным. Как сказал Леонард Хофстедтер, сосед и лучший друг Шелдона в сериале, это было настоящее «чудо сатурналий».

Так что теперь моё любимое число теперь — 89. Пока я не нашёл другое, ещё более интересное.

Лучшее число — x

На самом деле, таким образом можно экспериментировать практически с любыми числами. У многих есть такое любимое или «счастливое» число с детства, например, удачный номер билета на экзамене. Можно поупражняться в преобразовании этого числа. В результате тех или иных изменений с этим числом будут получаться всякие интересные результаты, которые можно записать в список. Например, можно проверить число 42, которое, как известно, является «ответом на главный вопрос жизни, вселенной и всего такого». Причины «интересности» числа могут быть самыми неожиданными. Мир чисел — это вообще крайне загадочная и захватывающая вещь, как и вся математика в целом.

Я думаю, что если всё же написать программу проверки разных гипотез, то можно найти и ещё более интересные числа. Для простых гипотез можно использовать обычные программные вычисления, а для проверки более сложных гипотез подойдут уже готовые массивы чисел в текстовых файлах. Например, такие:

• Огромные списки простых чисел от 10 тысяч до 2 миллиардов штук.
• Число e с точностью от 2 до 10 миллионов знаков.
• Число π с точностью до миллиардного знака.

Только нужно учесть, что файлы будут немаленькими. Например, текстовый файл с числом π (последний в списке) имеет размер 954 мегабайта.

Последовательность чисел Фибоначчи можно получить с помощью несложной программы. Кстати, Tproger недавно описывал получение такой последовательности как одну из задач для начинающих программистов.

Идеи для разных гипотез можно почерпнуть на ещё одном интересном ресурсе: онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей (сокращённо OEIS) — oeis.org. В этой энциклопедии собрано множество разных последовательностей, в которые складываются целые числа. В ней есть не только известные последовательности, такие как простые числа или числа Фибоначчи, но и менее известные, как, например, числа Белла.

Кстати, гипотезы для проверки чисел не обязательно забивать напрямую в программный код. Возможно, их можно было бы генерировать случайным образом.

Лучшее число — дата рождения

Поиск закономерностей в числах — это вообще очень результативное и интересное занятие. Такие закономерности встречаются далеко не так редко, как может показаться на первый взгляд. Для примера рассмотрим даты рождения. Ведь для многих дата рождения — это и есть то самое счастливое любимое число. Например, красивая дата 22.02.77 выглядит очень лаконично и легко преобразуется в простое число 22277, входящее во множество чисел-близнецов.

Наверняка, вы найдете для «своих» чисел много интересных особенностей. Например, в дробной части числа π можно найти не только ответы на все «главные вопросы жизни», но и любую дату. Кстати, это весьма оригинальный способ бросить жребий. Записываем дни рождения каждого участника в заранее оговорённом формате. Можно использовать любой: хоть ДДММГГГГ, хоть ГГГГММДД, а можно сократить год до двух цифр. Затем просто ищем, чьё число встречается раньше в дробной части числа π. Или позже — это уж как договоритесь. Для этого можно использовать готовый текстовый файл (см. выше) или, например, этот сайт.

Конечно, метод дат рождения срабатывает только один раз. В последующих розыгрышах нужно либо называть другие даты, либо использовать любые другие достаточно большие числа с заданным числом цифр. Главное, чтобы среди загадывающих не было того, кто знает большое количество цифр числа π наизусть.

Ещё одна закономерность, связанная с датами, называется «парадокс дней рождения». Он формулируется следующим образом: в группе, состоящей из 23 или более человек, вероятность совпадения числа и месяца рождения хотя бы у двух людей превышает 50%. На первый взгляд это утверждение противоречит здравому смыслу: в голове не укладывается, что в такой маленькой группе настолько вероятно появление одинаковых чисел из ряда от 1 до 365. А знаете, какова вероятность этого события для группы из 57 человек? Наверное, вы мне не поверите, но она равна 99 процентам. Подробный разбор этого парадокса есть в Википедии. Кстати, если у вас есть доступ к достаточно большому массиву дат рождений (например, список сотрудников вашей компании), то вы можете проверить этот парадокс экспериментально. В компании Bercut, на нашем корпоративном портале размещено много полезной информации для сотрудников. Например, у нас есть удобная страница для просмотра дней рождения сотрудников (конечно, без указания года рождения). Проверка по этому списку полностью подтвердила существование парадокса дней рождения.

В математике нет ничего неважного

Оказывается, в мире чисел совпадения и закономерности — это не такое редкое событие, как может показаться на первый взгляд. Главное — не забывать о бритве Оккама и не делать далеко идущих выводов в стиле нумерологии, астрологии или новой хронологии. Не будем множить сущности без необходимости.

Исследование различных числовых множеств — это не просто интересная задача и еще один подходящий повод заняться программированием. Возможно, очередная найденная закономерность приведёт к появлению нового интересного алгоритма. Вот как об этом пишет в своей книге Дэйв Зобель:

У многих чисел есть подобные странные свойства, которые оказались полезными в неожиданных ситуациях. […] Однажды кто-нибудь превратит [их] в сложный шифр, или в отличный способ упаковки предметов в твёрдые контейнеры…

Так, например, стало с простыми числами, которые теперь широко используются в криптографии. Математика — такая наука, в которой любое развлечение приносит свою пользу. Надо только немного пораскинуть мозгами, чтобы эту пользу отыскать.