Задачка про страну с мальчиками и девочками

Представьте страну, где все родители хотят иметь мальчика. Каждая семья продолжает рожать детей до тех пор, пока у них не появляется мальчик, а затем останавливается. Каково соотношение мальчиков и девочек в этой стране?

Игнорируйте ситуации, когда рождаются двойняшки, тройняшки и так далее, пары, не имеющие детей, и пары, умершие до того, как у них появится мальчик. Прежде всего, надо понять, что в каждой семье в этой стране, если родители хотят завести ребенка, есть или будет точно один мальчик. Почему? Потому, что каждая пара рожает детей до тех пор, пока у нее не появляется мальчик, а затем прекращает увеличивать численность своей семьи. Если говорить об исключении из рассмотрения рождения двойняшек, то здесь «мальчик» означает только одного мальчика. Семья становится полной, когда в ней появляется мальчик. Поэтому понятно: сколько полных семей, столько и мальчиков.

Однако в любой семье может быть любое количество девочек. Хороший способ для продолжения анализа — провести воображаемую перепись числа девочек. Представьте, что вы пригласили всех матерей в одно гигантское помещение и при помощи специальной системы общения с такой огромной аудиторией говорите: «Пусть каждая мать, у которой первый ребенок девочка, поднимет руку».

Естественно, это сделает половина женщин. Если матерей N, то руку поднимут N/2 женщин, и это число показывает, сколько девочек родились первыми. Отметьте на воображаемой доске это количество — N/2.

Затем скажите: «Пусть каждая мать, у которой второй ребенок девочка, поднимет или будет продолжать держать руку».

Половина поднятых рук опустится, и никаких новых рук не поднимется. (У матерей, которые не подняли руку после первой просьбы, потому что их первый ребенок был мальчик, в семье всего один ребенок.) Это оставляет N/4 поднятых рук, из чего следует, что N/4 родившихся вторыми детей были девочками. Запишем эту цифру также на воображаемой доске.

«Пусть каждая мать, у кого третий ребенок девочка, поднимет руку или продолжит держать ее поднятой». Вы уже поняли рассматриваемый здесь подход. Продолжайте этот процесс до тех пор, пока поднятых рук вообще не останется. С каждой такой просьбой число рук снижается вдвое. Это дает известный числовой ряд:

(1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 + 1/32 + ... ) х N

Сумма бесконечной серии таких чисел равна 1 (х N). Из этого следует, что число девочек равно числу семей (N) и равно числу мальчиков (или очень близко к этому). Поэтому интересующее нас соотношение мальчиков и девочек составляет 1 к 1. В итоге соотношение будет вообще равным.