У вас есть неограниченное количество монет достоинством 25, 10, 5 и 1 цент. Напишите код, определяющий количество способов представления n центов

Это рекурсивная задача, поэтому давайте разберемся, как рассчитать makeChange(n), основываясь на предыдущих решениях (подзадачах). Пусть n = 100. Мы хотим вычислить количество способов представления 100 центов.

Нам известно, что для получения 100 центов мы можем использовать монеты 0, 1, 2, 3 или 4 четвертака (25 центов):

Двигаемся дальше: попробуем упростить некоторые из этих задач. Например, makeChange(100, используя 1 четвертак) = makeChange(75, используя 0 четвертаков). Это так, потому что если мы должны использовать один четвертак для представления 100 центов, оставшиеся варианты соответствуют различным представлениям 75 центов.

Мы можем применить эту же логику для makeChange(100, используя 2 четвертака), makeChange(100, используя 3 четвертака) и makeChange(100, используя 4 четвертака).
Приведенное ранее выражение можно свести к следующему:

Заметьте, что последнее выражение — makeChange(100, используя 4 четвертака) — равно 1.

Что делать дальше? Теперь мы израсходовали все четвертаки и можем использовать следующую самую крупную монету — 10 центов.

Подход, использованный для четвертаков, подойдет и для 10–центовых монет. Мы применим его для четырех частей приведенного выше выражения. Так, для первой части:

После этого можно перейти к монеткам в 5 и 1 цент. В результате мы получим древовидную рекурсивную структуру, где каждый вызов расширяется до четырех или больше вызовов.

Базовый случай для нашей рекурсии — полностью сведенное (упрощенное) выражение. Например, makeChange(50, используя 0 четвертаков, 5 монет в 10 центов) полностью сводится к 1, так как 5 монет по 10 центов дает ровно 50 центов.

Рекурсивный алгоритм будет иметь примерно такой вид:

Хотя мы реализовали код, опираясь на монеты, используемые в США, его можно легко адаптировать для любой другой валюты.

Разбор задачи по книге «Карьера программиста. Как устроиться на работу в Google, Microsoft или другую ведущую IT-компанию»