Нахождение максимума из двух чисел без условных операторов и операторов сравнения

Самый распространенный вариант реализации функции max — проверка знака выражения a - b. В этом случае мы не можем использовать оператор сравнения, но можем использовать умножение.

Примечание Смысл задачи не в том, чтобы скрыть сравнение или условие в какую-нибудь стандартную функцию типа abs() или стандартный оператор типа целочисленного деления, а в том, чтобы всё это сделать вообще без инструкций ветвления на уровне процессора.

Обозначим знак выражения a - b как k. Если a - b >= 0, то k = 1, иначе k = 0. Пусть q будет инвертированным значением k.

Код будет иметь вид:

/* Отражаем 1 в 0 и 0 в 1 */
int flip(int bit) {
	return 1^bit;
}

/* Возвращаем 1, если число положительное, и 0, если отрицательное*/
int sign(int a) {
	return flip((a >> (sizeof(int) * CHAR_BIT - 1)))) & 0x1);
}

int getMaxNaive(int a, int b) {
	int k = sign(a - b);
	int q = flip(k);
	return a * k + b * q;
}

Это почти работоспособный код (можете проверить). Проблемы начинаются при переполнении. Предположим, что a = INT_MAX - 2 и b = -15. В этом случае a - b перестанет помещаться в INT_MAX и вызовет переполнение (значение станет отрицательным).

Можно использовать тот же подход, но придумать другую реализацию. Нам нужно, чтобы выполнялось условие k = 1, когда a > b. Для этого придется использовать более сложную логику.

Когда возникает переполнение a - b? Только тогда, когда a положительное число, а b отрицательное (или наоборот). Трудно обнаружить факт переполнения, но мы в состоянии понять, что a и b имеют разные знаки. Если у а и b разные знаки, то пусть k = sign(a).

Логика будет следующей:

1. если у a и b разные знаки:
// если a > 0, то b < 0 и k = 1.
// если a < 0, то b > 0 и k = 0.
// так или иначе, k = sign(a)
2. пусть k = sign(a)
3. иначе пусть k = sign(a - b) // переполнение невозможно

Приведенный далее код реализует этот алгоритм, используя умножение вместо операторов сравнения (проверить):

int getMax(int a, int b) {
	int c = a - b;
	
	int sa = sign(a); // если a >= 0, то 1, иначе 0
	int sb = sign(b); // если a >= 1, то 1, иначе 0
	int sc = sign(c); // зависит от переполнения a - b
	
	/* Цель: найти k, которое = 1, если а > b, и 0, если a < b.
	 * если a = b, k не имеет значения */

	// Если у а и b равные знаки, то k = sign(a)
	int use_sign_of_a = sa ^ sb;
	
	// Если у a и b одинаковый знак, то k = sign(a - b)
	int use_sign_of_c = flip(sa ^ sb);
	
	int k = use_sign_of_a * sa + use_sign_of_c * sc;
	int q = flip(k); // отражение k

	return a * k + b * q;
}

Отметим, что для большей наглядности мы разделяем код на методы и вводим переменные. Это не самый компактный или эффективный способ написания кода, но так мы делаем код понятнее.

_{Разбор взят из книги Гейл Л. Макдауэлл «Cracking the Coding Interview» (есть в переводе).}