Что могут спросить на собеседовании: подборка задач Ферми

Для решения некоторых задач требуются вычисления высочайшей точности. Однако множество других задач допускает приближенное решение. Физики гордятся тем, что могут быстро ответить на вопросы, требующие ответа «с точностью до порядка», делая приближенные оценки, основанные на здравом смысле. Задачи такого рода обычно называют задачами Ферми — по имени великого физика Энрико Ферми, который обладал величайшим искусством не только ставить подобные задачи, но и быстро и изящно их решать.

Задачи Ферми являются весьма действенным способом тренировки реальной применимости знаний человека на практике, а также способности быстро находить способы решения любой жизненной задачи. Современное образование часто предлагает знания, имеющие общий или абстрактный характер. Студенты и школьники часто способны решать сложные типовые задачи, совершая множество операций, а когда речь заходит о том, чтобы решить элементарную, но нестандартную задачу, они впадают в ступор.

Так как часто ответ задач Ферми представляет сомнительный практический интерес, главный акцент делается именно на метод решения. Поэтому задачи Ферми нашли свое применение на различных собеседованиях в крупные компании, конкурсах, интеллектуальных играх, олимпиадах по физике или по информатике. Суть использования задач сводится к тому, чтобы увидеть способность человека к поиску нестандартных решений.

Итак, рассмотрим несколько таких задач.

Сколько флаконов шампуня производится в мире за год?

Люди из богатых стран используют несколько флаконов шампуня. Многие жители развивающихся стран не могут себе позволить такую роскошь, как шампунь. Вы можете вполне обоснованно предположить, что в среднем там в год тратится одна бутылочка на человека (если только вы не проходите собеседование в Procter and Gamble, то интервьюер и сам не знает точного ответа). При этих допущениях ответ будет таким: за год производится столько бутылочек шампуня, сколько людей в мире, то есть 6 миллиардов.

Удобная подсказка: при оценке потребления популярных потребительских продуктов трудно сильно промахнуться. В своих рассуждениях исходите из того количества, которое вы потребляете сами, а затем вносите требуемые корректировки. Ваша итоговая оценка не будет сильно отличаться от истинного значения, и именно это от вас и хотят услышать.

Cколько мячей для гольфа войдет в школьный автобус?

Школьный автобус, как и любое другое транспортное средство, должен по своим параметрам соответствовать дорожному полотну т.е. быть не намного шире, чем легковые авто. В фильмах мы видели, что в нём есть сиденья для четырёх детей (используются ли где-то такие автобусы в России? — прим. ред.), а также проход посередине. И есть место, где может стоять учитель. Будем исходить из того, что ширина автобуса около 2,5 метра, высота примерно 2 метра. Напомним, что точные цифры не так важны, важен порядок. Сколько рядов сидений в автобусе? Пусть будет 12. Каждому ряду необходимо около метра или чуть меньше, длину примем за 11 метров. Итого общий объём будет около 55 куб. метров.

Продолжение в отдельной статье.

Сколько насечек на ребре четвертака — монеты в 25 центов?

Диаметр четвертака около одного дюйма (2,54 см). Длина его окружности составляет π (3,14159…), умноженное на диаметр. Для простоты будем считать, что она равна 3 дюймам. Оставшаяся неясная часть для расчетов — количество насечек, приходящееся на один дюйм. Давайте оценим их число. Их больше 10 и, вероятно, меньше 100. Возьмем в качестве возможного варианта 50 и умножим это число на 3. Тогда ответ составит 150 насечек. Фактическое число насечек на американском четвертаке — 119, и их вполне обоснованно иногда называют поры. Они первоначально наносились на золотые монеты, чтобы мошенника не обрезали драгоценный металл с краев монеты. Так вот почему этот вопрос задают претендентам в Deloitte, аудиторский компании, входящей в «большую четверку» ведущих аудиторских организаций мира!

Сколько будет 2 в 64 степени?

Приведём один из вариантов возможных рассуждений. Любой инженер знает, что 210 = 1024. Будем считать, что это приблизительно 1000. Умножим 210 на себя шесть раз и получим 260. Это около 1000 в шестой степени или 1018, также известное как квинтиллион. Осталось только умножить его на 24 (16), чтобы получить искомое 264. Таким образом, очень приблизительный, но быстрый ответ будет 16 квинтиллионов.

На самом деле, чуть больше, т.к. 1024 на 2,4% больше 1000. Мы используем это приближение 6 раз, и поэтому ответ должен быть на более, чем 12% больше. Это добавляет еще 2 квинтиллиона. Поэтому более точно будет 18 квинтиллионов.

Точное значение: 18 446 744 073 709 551 616

Есть еще один быстрый хак. Многие знают, что максимальное число 32-битного unsigned int — это что-то около 4 миллиардов т.е. 232 ≈ 4х109. Осталось только умножить это само на себя и получить около 16—17 квинтиллионов.

Сколько туалетной бумаги потребуется, чтобы покрыть ею весь штат?

Площадь куска туалетной бумаги приблизительно равна 4 на 4 дюйма (около 10 на 10 см). Девять кусочков, положенные в виде квадрата 3 на 3, составляют квадратный фут. Чтобы облегчить расчеты, будем считать, что 10 листочков составляют квадратный фут. Сколько их в рулоне туалетной бумаги? Может быть, там 300 отдельных листочков? Тогда в рулоне около 30 квадратных футов. Возможно, вы знаете, что в миле 5280 футов. Округлите эту цифру. Пусть она будет равна 5 тысячам футов. Поэтому квадратная миля составляет 5 тысяч на 5 тысяч футов или 25 миллионов квадратных футов. Число рулонов туалетной бумаги, необходимой, чтобы покрыть квадратную милю, составит 25 миллионов, деленных на 30. Что такое 25 для вопросов категории Ферми — это практическое то же самое, что и 30. Будем считать, что для покрытия квадратной мили нужен миллион рулонов.

Представим, что собеседование вы проходите в Техасе. Протяженность США (без Аляски и Гавайев) с запада на восток примерно 2500 миль. Можно достаточно обоснованно предположить, что площадь Техаса — 500 на 500 миль. Разумеется, Техас не квадратный, но представим его таким. Поэтому площадь Техаса примерно равна 500 х 500 миль = 250 тысяч квадратных миль. Чтобы покрыть весь Техас туалетной бумагой, вам потребуется 250 тысяч х 1 миллион рулонов, то есть всего-навсего 250 миллиардов рулонов.

Сколько молекул резины стираются с шины автомобильного колеса при каждом его обороте?

В формулировке задачи нет цифровых данных. С чего же начать?

Мы настолько привыкли выдергивать из условия задачи цифры и немедленно начинать с ними работать… Правда, работа эта зачастую заключается в полубессмысленном перемножении – делении – сложении – вычитании, что назвать это работой как-то язык не поворачивается. Тем не менее, такая привычка есть. Тем лучше. Значит, наша задача с первых же минут заставляет задумываться не над арифметическими действиями, а непосредственно над самой ситуацией, описанной в условии. Итак, мы должны сами задать исходные данные – радиус покрышки, суммарную массу резины и так далее.

Конечно, это некоторым образом вымышленные, приближенные данные. Правомерен вопрос: сможем ли мы на их основе получить точный ответ? Если под словом «точный» понимать ответ, близкий к истине, то нет, не можем. Но в задачах такого рода под точностью понимается результат по порядку величины и поэтому нам незачем штангенциркулем мерить диаметр колеса, пытаясь задать его с точностью до миллиметра. Вполне достаточно взять приближенную величину; главное – не ошибиться в порядке. Впрочем, сделать это довольно трудно. Действительно, любому здравомыслящему человеку ясно, что, например, радиус колеса автомобиля (для определенности возьмем легковой автомобиль) не может быть равен 100 метров, 10 метров и даже 1 метр. Он находится между 0,1 и 1 метром, то есть по порядку величины равен 0,1 = 10-1. А для оценки совсем неважно, выберем ли мы для расчетов значение 0,2 или 0,3 – их порядок одинаков. Следовательно, такой выбор не отразится на порядке результата, то есть на точности оценки.

Ладно, с этим разобрались. Каков же будет план наших действий? Сначала мы определим объем резины, который стирается с шины, затем разделим его на объем молекулы – и получим необходимый результат. Пусть так. Но вы представляете себе, как определить объем стираемой резины? Даже один оборот? Да еще сидя за столом, а не бегая с аптечными весами вокруг автомобиля? Казалось бы, это практически невозможно. Но Вы сами знаете: сказать, что ответа нет гораздо проще, нежели попытаться его найти. Мы всегда будем выбирать второй путь: он труднее, но и интереснее. Давайте поступим так. Определим объем резины, которая была стерта с колеса за все время его эксплуатации и разделим его на количество оборотов колеса за это время. Получим искомый объем стертой за 1 оборот резины.

Cколько денег понадобится на мытье всех окон в Сиэтле

Для начала нужно сделать первый шаг — оценить численность населения в Сиэтле. По данным бюро переписи населения США, она составляет 594 тысяч человек. Впрочем, на собеседовании никто не возмутится, если вы скажете, что численность Сиэтла — примерно около миллиона.

Сколько окон приходится на каждого жителя этого города? В Манхэттене молодые люди считают, что им повезло, если у них есть одно окно на каждого. В Сиэтле ситуация другая: там квартиры побольше, и многие люди живут в домах с панорамными окнами, выходящими на вечнозеленые леса. Многие дома, в том числе и в городе, двухэтажные. Можно предположить без особой натяжки, отдавая предпочтение удобным круглым цифрам, что на каждого жителя Сиэтла приходится 10 окон.

Продолжение в отдельной статье.

Примеры других задач для самостоятельного решения

• Сколько автозаправок в Соединённых Штатах? (Этот вопрос был задан в General Motors.)
• Сколько мусорщиков работает в Калифорнии? (Apple)
• Оцените число такси в Нью-Йорке. (KPMG)
• Сколько шаров для гольфа нужно, чтобы заполнить ими площадь стадиона? (JP Morgan Chase)
• Сколько пылесосов производится в год? (Google)

Шпаргалка для собеседований

Интервьюеры не думают, что у кандидата на кончике языка вертится множество самых разных статистических данных. Но, разумеется, важные цифры, относящиеся к бизнесу в целом, некоторые самые важные демографические данные и несколько статистических показателей, касающихся компании, в которую вы подали заявление, знать надо, так как в противном случае вы будете выглядеть бледно. Вот шпаргалка с рядом круглых цифр:

• Численность населения мира: 7 млрд.
• Общий валовой продукт в мире: 60 трлн долларов.
• Численность населения Соединенных Штатов 300 млн человек.
• Валовой внутренний продукт Соединенных Штатов 14 трлн долларов.
• Минимальная ставка заработной платы в соответствии с федеральным законом США: 7 долларов в час (фактически 7,25 доллара).
• Численность населения в регионе Сан-Франциско с учетом Кремниевой долины: 8 млн.
• Стоимость Google на фондовом рынке: 500 млрд долларов.
• Число шариков, которые уложатся в большом контейнере при случайной упаковке: в 1,2 раза больше той цифры, которую вы получите при использовании кубической решетки.