Перед вами три коробки, в какой из них находится приз?

Перед вами три коробки, в одной из которых находится ценный груз, в двух других ничего нет. Вы можете выбрать любую коробку, но вам по-прежнему неизвестно, в какой именно приз. Одну из двух не выбранных вами коробок открывают и показывают, что она пустая. Теперь вы можете или оставить коробку, которую вы первоначально выбрали (оставить), или поменять ее на другую, неоткрытую (заменить). Что вы предпочтете сделать (оставить или заменить)?

Этот вопрос является разновидностью парадокса Монти Холла и был сформулирован в 1975 году статистиком географических данных Стивом Селвином. Монти Холл был первым ведущим телевизионной игры-шоу «Давайте заключим сделку». Загадка Селвина относится к ситуации, немного напоминающей финальный раунд в этом телевизионном шоу, при котором участники выбирают призы, находящиеся за дверями. В письме в American Statistician Селвин утверждал, что вам следует согласиться на обмен. Этот вариант показался многим настолько противоречивым, что в следующем письме Селвину пришлось его защищать. Монти Холл написал Селвину и согласился с его анализом.

С тех пор этот парадокс стал темой огромного числа обсуждений. После упоминания о нем в 1990 году Мэрилин вос Савант в своей колонке, которую она ведет в журнале Parade, он стал популярным и у широкой общественности. На следующий год Джон Тьерни из New York Times рассказал, что эту загадку «обсуждают и в залах Центрального разведывательного управления, и в казармах пилотов самолетов-истребителей, участвующих в войне в Персидском заливе. Ее анализировали математики из Массачусетского технологического института, и программисты из Los Alamos National Laboratory…». Выяснилось, что эта задача используется и в передаче Car Talk, которая ведется на NRP а также в телевизионном шоу NUMB3RS. К ней прибегают на собеседованиях в Bank of America и в других финансовых фирмах. Циники могут отыскать параллель с управлением рисками в финансовой отрасли, когда вероятности тайно меняются и вам пытаются подсунуть «пустой ящик».

Самое интересное в загадке Селвина — ее трудность.

В ходе одного исследования было установлено, что только 12% людей, которым задавали этот вопрос, давали правильные ответы. Этот результат удивителен, если учесть, что любой человек, не имеющий никаких подсказок, при простой догадке может оказаться правым в 50 случаях из 100. Другими словами, это случай, когда интуиция ведет вас в неправильном направлении.

Большинство отвечающих полагают, что нет никакой разницы, оставите ли вы первую коробку или ее поменяете. Более продвинутые могут добавить, что любой, кто думает, что может повысить свои ожидания при помощи обмена, заблуждается, то есть ведет себя так же, как игроки-неудачники, настаивающие, что игровой автомат «подкручен» и поэтому в нем никогда нельзя выиграть джек-пот.

При любом вопросе, связанном с вероятностями, важно знать, что происходит случайно, а что преднамеренно. Скажем, ваш друг подбрасывает монету 10 раз, и каждый раз она падает орлом вверх. Каков шанс, что при следующем броске снова выпадет орел? Вы не можете это точно сказать до тех пор, пока не выясните, была ли предыдущая серия простым результатом удачи или следствием того, что у этой монеты имеются какие-то особенности.

Когда Селвин предложил эту загадку, первоначальный вариант шоу «Давайте заключим сделку» все еще выходил в эфир и уже стал неотъемлемой частью поп-культуры. Моя бабушка, которая смотрела это шоу, считала Монти мошенником, хотя и знаменитым. Вот как она это обосновывала, громко обращаясь к телевизору: «Если он хочет предложить вам эту дверь, он, должно быть, знает, что за ней находится что-то менее ценное, чем то, что уже есть у участника».

Надо сказать, что она не сильно ошибалась. В одном интервью Холл заявил, что, когда он знал, что участник выбрал самый крупный приз, он предлагал деньги человеку взамен того, что находится за выбранной им дверью. Это добавляло передаче зрелищности. Когда человек менял крупный приз на мелочевку, он превращался в неудачника, а это вызывает у аудитории гораздо больше эмоций.

Давайте дадим коробкам названия. Пусть они будут такими: выбранная, открываемая и искушающая. Первоначально шансы на то, что вы выберете коробку с призом, равны один к трем.
После вашего выбора открывается одна из двух оставшихся коробок, и оказывается, что она пустая. Чтобы определить, как это повлияло на ваши шансы получить крупный приз, вам необходимо знать, кто открывает вторую коробку и какова его цель.

Имеется два вероятных варианта.

  1. Открываемая коробка была выбрана случайно (например, подбросили монету) из тех двух коробок, которые вы не выбрали. Это означает, что в открытой коробке мог находиться приз, хотя, как оказалось, его не было.
  2. Коробка была открыта человеком, который знал, что в ней находится, и заранее планировал показать пустую коробку и он мог это сделать при любых условиях.

Исходная задачка Селвина не оставляет сомнений, что второй вариант желателен для ТВ. («Несомненно, Монти Холл знает, какая коробка является ценной, и поэтому не открывает коробку, где лежат ключи от автомобиля.»)

Это важное уточнение часто упускается из виду. Как уже говорилось выше, эта задачка, задаваемая на собеседовании, является противоречивой. В ней не упоминается о ведущем, который может прибегать к махинациям, и не рассказывается, как выбирается открываемая коробка. Вам следует попросить интервьюера уточнить эти детали и указать, что вопрос позволяет дать разные ответы в зависимости от того, окак выбирается вторая коробка.

Открыв коробку при первом варианте, вы получаете определенную информацию: в этой коробке приза нет, хотя он мог там быть. Это резко повышает ваши шансы на то, что в выбранной вами коробке есть приз, с 13 до 12. Так же меняются шансы на наличие приза и в искушающей коробке. Поскольку и у той, и другой коробки шансы на выигрыш пятьдесят на пятьдесят, менять одну коробку на другую нет никакого смысла.

Открыв коробку при втором варианте, никакой полезной информации вы не получаете. Монти (или любой другой человек) знает, что лежит в коробках, и всегда может выбрать пустую и показать ее вам. Его преднамеренная демонстрация никак не повышает шансы, что выбранная вами первоначально коробка является ценной. Другими словами, первоначальный шанс, равный 13, после открытия второй коробки таким же и остается.

Другими словами, открытие второй коробки не изменило вероятности, равной 23, что в одной из двух коробок находится приз. Но поскольку одна из этих коробок, как было показано, пустая, эта вероятность, равная 23, теперь полностью приходится на искушающую коробку. Приняв предложение ведущего о замене, вы удваиваете ваши шансы на получение приза.

Если вы по-прежнему не понимаете, почему ответ Селвина является правильным, представьте, что имеется 100 коробок. Вы выбираете коробку № 79. Затем Монти открывает 98 из оставшихся 99 коробок. Все они пустые. После этого, помимо вашей коробки, неоткрытой остается, скажем, коробка № 18. Монти спрашивает вас, хотите ли вы поменять коробку № 79 на коробку № 18?

Вы начинали с вероятности 1 к 99, что ключи от машины лежат в вашей коробке. Монти ведет себя как ведущий. И он не намерен показать вам ничего, кроме пустой коробки, и он может это сделать. Шанс, что приз находится в вашей коробке, остается прежним, то есть 1100, в то время как шанс, что он в ящике № 18, после того, как ведущий открыл все остальные коробки, которые оказались пустыми, возрастает до 99100. Так что, если перед вами 100 коробок, вы повышаете шансы в 99 раз (!), если меняете ее на оставшуюся.

Когда психологи Дональд Грэнберг и Тад Браун во время собеседования предлагали эту задачку (в их случае люди выбирали двери), они все время слышали объяснения, вроде следующих:

«Я не стал бы выбирать другую дверь: если я ошибусь при обмене, я буду больше терзать себя, чем если я останусь со своей дверью и проиграю».

«Это был мой первый выбор, сделанный инстинктивно, и, если я ошибся, что ж, пусть так оно и будет. Но если я поменяю двери и окажусь неправым, это будет еще хуже».

«Я действительно буду сожалеть, если я поменяю двери и проиграю. Психологически лучше оставаться верным своему первому выбору».

Все это синдромы боязни потери. Нам, людям, свойственно уходить от решений, которые могут оказаться плохими, даже если шансы на выигрыш благоприятны. Лучше быть в безопасности, чем сожалеть. Любой, кто придумывает новые продукты, должен хорошо об этом помнить. Потребитель, думающий о смене коробок или брендов, возможно, ориентируется на что-то такое, что не имеет ничего общего с логикой.

Боязнь потери свойственна и математическим гениям. В этом отношении они не отличаются от всех остальных. Говорят, что знаменитый математик Пол Эрдёш, когда в первый раз услышал об этой загадке, решил ее неправильно. «Даже физики, нобелевские лауреаты, регулярно дают неправильные ответы, — рассказал психолог Массимо Пьяттелли-Палмарини, — причем они настаивают на своем неверном варианте и готовы разнести в пух и прах любого, кто предлагает правильный ответ».

Разбор головоломки по книге «Действительно ли Вы достаточно умны, чтобы работать в Google?»