Логическая задача на измерение высоты разбивания яйца

Дано 100-этажное здание. Если яйцо сбросить с высоты N-го этажа (или с большей высоты), оно разобьется. Если его бросить с любого меньшего этажа, оно не разобьется. У вас есть два яйца. Найдите N за минимальное количество бросков.

Обратите внимание, что независимо от того, с какого этажа мы бросаем яйцо №1, бросая яйцо №2, необходимого использовать линейный поиск (от самого низкого до самого высокого этажа) между этажом «повреждения» и следующим наивысшим этажом, при броске с которого яйцо останется целым. Например, если яйцо №1 остается целым при падение с 5-го по 10-й этаж, но разбивается при броске с 15-го этажа, то яйцо №2 придется (в худшем случае) сбрасывать с 11-го,12-го,13-го и 14-го этажей.

Предположим, что мы бросаем яйцо с 10-го этажа, потом с 20-го…

  • Если яйцо №1 разбилось на первом броске (этаж 10-й), то нам в худшем случае приходится проделать не более 10 бросков.
  • Если яйцо №1 разбивается на последнем броске (100-й этаж), тогда у нас впереди в худшем случае 19 бросков (этажи 10-й, 20-й, …, 90-й, 100-й, затем с 91-го до 99-го).

Это хорошо, но давайте уделим внимание самому плохому случаю. Выполним балансировку нагрузки, чтобы выделить два наиболее вероятных случая.

  1. В хорошо сбалансированной системе значение Drops(Egg1) + Drops(Egg2) будет постоянным, независимо  от того, на каком этаже разбилось яйцо №1.
  2. Допустим, что за каждый бросок яйцо №1 «делает» один шаг (этаж), а яйцо №2 перемещается на один шаг меньше.
  3. Нужно каждый раз сокращать на единицу количество бросков, потенциально необходимых яйцу №2. Если яйцо №1 бросается сначала с 20-го, а потом с 30-го этажа, то яйцу №2 понадобится не более 9 бросков. Когда мы бросаем яйцо №1 в очередной раз, то должны снизить количество бросков яйца №2 до 8. Для этого достаточно бросить яйцо №1 с 39 этажа.
  4. Мы знаем, что яйцо №1 должно стартовать с этажа X, затем спуститься на X-1 этажей, затем — на X-2 этажей, пока не будет достигнуто число 100.
  5. Можно вывести формулу, описыващее наше решение:  X + (X — 1) + (X — 2) + … + 1 = 100 -> X = 14.

Таким образом, мы сначала попадаем на 14-й этаж, затем на 27-й, затем 39-й. Так что 14 шагов — худший случай.

Как и в других задачах максимизации/минимазиции, ключом к решению является «балансировка худшего случая».

Разбор взят из книги Гейл Л. Макдауэлл «Cracking the Coding Interview» (есть в переводе).