Алгоритмы и структуры данных для начинающих: сортировка
252К открытий254К показов
В этой части мы посмотрим на пять основных алгоритмов сортировки данных в массиве. Начнем с самого простого — сортировки пузырьком — и закончим «быстрой сортировкой» (quicksort).
Для каждого алгоритма, кроме объяснения его работы, мы также укажем его сложность по памяти и времени в наихудшем, наилучшем и среднем случае.
Также смотрите другие материалы этой серии: бинарное дерево, стеки и очереди, динамический массив, связный список, оценка сложности алгоритма и множества.
Метод Swap
Для упрощения кода и улучшения читаемости мы введем метод Swap
, который будет менять местами значения в массиве по индексу.
Пузырьковая сортировка
Сортировка пузырьком — это самый простой алгоритм сортировки. Он проходит по массиву несколько раз, на каждом этапе перемещая самое большое значение из неотсортированных в конец массива.
Например, у нас есть массив целых чисел:
При первом проходе по массиву мы сравниваем значения 3 и 7. Поскольку 7 больше 3, мы оставляем их как есть. После чего сравниваем 7 и 4. 4 меньше 7, поэтому мы меняем их местами, перемещая семерку на одну позицию ближе к концу массива. Теперь он выглядит так:
Этот процесс повторяется до тех пор, пока семерка не дойдет почти до конца массива. В конце она сравнивается с элементом 8, которое больше, а значит, обмена не происходит. После того, как мы обошли массив один раз, он выглядит так:
Поскольку был совершен по крайней мере один обмен значений, нам нужно пройти по массиву еще раз. В результате этого прохода мы перемещаем на место число 6.
И снова был произведен как минимум один обмен, а значит, проходим по массиву еще раз.
При следующем проходе обмена не производится, что означает, что наш массив отсортирован, и алгоритм закончил свою работу.
Сортировка вставками
Сортировка вставками работает, проходя по массиву и перемещая нужное значение в начало массива. После того, как обработана очередная позиция, мы знаем, что все позиции до нее отсортированы, а после нее — нет.
Важный момент: сортировка вставками обрабатывает элементы массива по порядку. Поскольку алгоритм проходит по элементам слева направо, мы знаем, что все, что слева от текущего индекса — уже отсортировано. На этом рисунке показано, как увеличивается отсортированная часть массива с каждым проходом:
Постепенно отсортированная часть массива растет, и, в конце концов, массив окажется упорядоченным.
Давайте взглянем на конкретный пример. Вот наш неотсортированный массив, который мы будем использовать:
Алгоритм начинает работу с индекса 0 и значения 3. Поскольку это первый индекс, массив до него включительно считается отсортированным.
Далее мы переходим к числу 7. Поскольку 7 больше, чем любое значение в отсортированной части, мы переходим к следующему элементу.
На этом этапе элементы с индексами 0..1 отсортированы, а про элементы с индексами 2..n ничего не известно.
Следующим проверяется значение 4. Так как оно меньше семи, мы должны перенести его на правильную позицию в отсортированную часть массива. Остается вопрос: как ее определить? Это осуществляется методом FindInsertionIndex
. Он сравнивает переданное ему значение (4) с каждым значением в отсортированной части, пока не найдет место для вставки.
Итак, мы нашли индекс 1 (между значениями 3 и 7). Метод Insert
осуществляет вставку, удаляя вставляемое значение из массива и сдвигая все значения, начиная с индекса для вставки, вправо. Теперь массив выглядит так:
Теперь часть массива, начиная от нулевого элемента и заканчивая элементом с индексом 2, отсортирована. Следующий проход начинается с индекса 3 и значения 4. По мере работы алгоритма мы продолжаем делать такие вставки.
Когда больше нет возможностей для вставок, массив считается полностью отсортированным, и работа алгоритма закончена.
Сортировка выбором
Сортировка выбором — это некий гибрид между пузырьковой и сортировкой вставками. Как и сортировка пузырьком, этот алгоритм проходит по массиву раз за разом, перемещая одно значение на правильную позицию. Однако, в отличие от пузырьковой сортировки, он выбирает наименьшее неотсортированное значение вместо наибольшего. Как и при сортировке вставками, упорядоченная часть массива расположена в начале, в то время как в пузырьковой сортировке она находится в конце.
Давайте посмотрим на работу сортировки выбором на нашем неотсортированном массиве.
При первом проходе алгоритм с помощью метода FindIndexOfSmallestFromIndex
пытается найти наименьшее значение в массиве и переместить его в начало.
Имея такой маленький массив, мы сразу можем сказать, что наименьшее значение — 3, и оно уже находится на правильной позиции. На этом этапе мы знаем, что на первой позиции в массиве (индекс 0) находится самое маленькое значение, следовательно, начало массива уже отсортировано. Поэтому мы начинаем второй проход — на этот раз по индексам от 1 до n – 1.
На втором проходе мы определяем, что наименьшее значение — 4. Мы меняем его местами со вторым элементом, семеркой, после чего 4 встает на свою правильную позицию.
Теперь неотсортированная часть массива начинается с индекса 2. Она растет на один элемент при каждом проходе алгоритма. Если на каком-либо проходе мы не сделали ни одного обмена, это означает, что массив отсортирован.
После еще двух проходов алгоритм завершает свою работу:
Сортировка слиянием
Разделяй и властвуй
До сих пор мы рассматривали линейные алгоритмы. Они используют мало дополнительной памяти, но имеют квадратичную сложность. На примере сортировки слиянием мы посмотрим на алгоритм типа «разделяй и властвуй» (divide and conquer).
Алгоритмы этого типа работают, разделяя крупную задачу на более мелкие, решаемые проще. Мы пользуемся ими каждый день. К примеру, поиск в телефонной книге — один из примеров такого алгоритма.
Если вы хотите найти человека по фамилии Петров, вы не станете искать, начиная с буквы А и переворачивая по одной странице. Вы, скорее всего, откроете книгу где-то посередине. Если попадете на букву Т, перелистнете несколько страниц назад, возможно, слишком много — до буквы О. Тогда вы пойдете вперед. Таким образом, перелистывая туда и обратно все меньшее количество страниц, вы, в конце концов, найдете нужную.
Насколько эффективны эти алгоритмы?
Предположим, что в телефонной книге 1000 страниц. Если вы открываете ее на середине, вы отбрасываете 500 страниц, в которых нет искомого человека. Если вы не попали на нужную страницу, вы выбираете правую или левую сторону и снова оставляете половину доступных вариантов. Теперь вам надо просмотреть 250 страниц. Таким образом мы делим нашу задачу пополам снова и снова и можем найти человека в телефонной книге всего за 10 просмотров. Это составляет 1% от всего количества страниц, которые нам пришлось бы просмотреть при линейном поиске.
Сортировка слиянием
При сортировке слиянием мы разделяем массив пополам до тех пор, пока каждый участок не станет длиной в один элемент. Затем эти участки возвращаются на место (сливаются) в правильном порядке.
Давайте посмотрим на такой массив:
Разделим его пополам:
И будем делить каждую часть пополам, пока не останутся части с одним элементом:
Теперь, когда мы разделили массив на максимально короткие участки, мы сливаем их в правильном порядке.
Сначала мы получаем группы по два отсортированных элемента, потом «собираем» их в группы по четыре элемента и в конце собираем все вместе в отсортированный массив.
Для работы алгоритма мы должны реализовать следующие операции:
- Операцию для рекурсивного разделения массива на группы (метод
Sort
). - Слияние в правильном порядке (метод
Merge
).
Стоит отметить, что в отличие от линейных алгоритмов сортировки, сортировка слиянием будет делить и склеивать массив вне зависимости от того, был он отсортирован изначально или нет. Поэтому, несмотря на то, что в худшем случае он отработает быстрее, чем линейный, в лучшем случае его производительность будет ниже, чем у линейного. Поэтому сортировка слиянием — не самое лучшее решение, когда надо отсортировать частично упорядоченный массив.
Быстрая сортировка
Быстрая сортировка — это еще один алгоритм типа «разделяй и властвуй». Он работает, рекурсивно повторяя следующие шаги:
- Выбрать ключевой индекс и разделить по нему массив на две части. Это можно делать разными способами, но в данной статье мы используем случайное число.
- Переместить все элементы больше ключевого в правую часть массива, а все элементы меньше ключевого — в левую. Теперь ключевой элемент находится в правильной позиции — он больше любого элемента слева и меньше любого элемента справа.
- Повторяем первые два шага, пока массив не будет полностью отсортирован.
Давайте посмотрим на работу алгоритма на следующем массиве:
Сначала мы случайным образом выбираем ключевой элемент:
Теперь, когда мы знаем ключевой индекс (4), мы берем значение, находящееся по этому индексу (6), и переносим значения в массиве так, чтобы все числа больше или равные ключевому были в правой части, а все числа меньше ключевого — в левой. Обратите внимание, что в процессе переноса значений индекс ключевого элемента может измениться (мы увидим это вскоре).
Перемещение значений осуществляется методом partition
.
На этом этапе мы знаем, что значение 6 находится на правильной позиции. Теперь мы повторяем этот процесс для правой и левой частей массива.
Мы рекурсивно вызываем метод quicksort
на каждой из частей. Ключевым элементом в левой части становится пятерка. При перемещении значений она изменит свой индекс. Главное — помнить, что нам важно именно ключевое значение, а не его индекс.
Снова применяем быструю сортировку:
И еще раз:
У нас осталось одно неотсортированное значение, а, поскольку мы знаем, что все остальное уже отсортировано, алгоритм завершает работу.
Заключение
На этом мы заканчиваем наш цикл статей по алгоритмам и структурам данных для начинающих. За это время мы рассмотрели связные списки, динамические массивы, двоичное дерево поиска и множества с примерами кода на C#.
Перевод статьи «Sorting Algorithms»
252К открытий254К показов