Понимаем красно-чёрное дерево. Часть 1: введение

Долгое время я воевал с красно-чёрным деревом (далее — КЧД). Вся информация, которую я находил, была в духе «листья и корень дерева всегда чёрные, ПОТОМУ ЧТО», «топ-5 свойств красно-чёрного дерева» или «3 случая при балансировке и 12 случаев при удалении ноды». Такой расклад меня не устраивал.

Мне не хотелось заучивать свойства дерева, псевдокод и варианты балансировки. Я хотел знать почему. Каким образом цвета помогают при балансировке? Почему у красной ноды не может быть красного потомка? Почему глубину дерева измеряют «чёрной высотой»?

Ответы на эти вопросы я получил только тогда, когда мне дали ссылку на лекцию про 2-3-дерево, с которого мы и начнём.

Эта статья разделена на 3 логические части. Я рекомендую прочитать их в указанном порядке. Первая часть будет направлена на введение в КЧД и знакомство с ним. Во второй части мы поговорим о балансировке и вставке в КЧД. В третьей, завершающей части, мы разберём процесс удаления ноды. Наберитесь терпения и приятного чтения:)

Дисклеймер

1. В этой статье не будет информации про плюсы и минусы дерева, его применение и т.д.. Информации об асимптотике дерева и работе с ним в интернете полно.
2. Материал предназначен для тех, кто уже знаком с КЧД и теперь хочет их понять, а также для тех, кто только знакомится с ними.
3. Статья не будет содержать деталей реализации структуры.
4. Можно считать, что эта статья — перевод англоязычного видео в упрощённый русский текстовый вариант.

2-3-дерево

Чтобы понять красно-чёрное дерево, нужно понять 2-3-дерево.

Забегая вперед, скажу, что 2-3-дерево — это, по сути, родитель нашего КЧД, поэтому важно начать именно с него. Поймем 2-3-дерево — поймём и КЧД.

2-3-дерево — абстрактный тип данных, напоминающий по структуре дерево. В нодах 2-3-дерева может быть одно или два значения и два или три потомка (от чего зависит количество значений и потомков ноды, узнаем ниже). Ноду с одним значением и двумя потомками будем называть 2-нода, ноду с двумя значениями и тремя потомками — 3-нода. Объяснение я начну с создания такого дерева: это наглядно и просто. Но некоторые уточнения всё же нужны:

1. Добавляя элемент, мы всегда спускаемся вниз по дереву.
2. Дерево отсортировано классически — меньшие значения находятся слева, бОльшие — справа.
3. 2-3-дерево — отсортированное, сбалансированное дерево.

Итак, начнём с первой ноды, это число 5. Тут всё просто — 5 становится корнем.

Добавим число 12. Его мы также добавляем в корень (помним, что нода может иметь два значения), но теперь нам нужно отсортировать нашу ноду (сортировать два элемента, ха), т.е. уложить их в порядке возрастания. В итоге получается нода 5-12.

Добавим следующее число. Пусть это будет 17. Давайте пока добавим наш элемент в единственную ноду и снова отсортируем ее. Получилась нода 5-12-17.

Внимательный читатель заметит тут подвох — выше я говорил о том, что наши ноды могут содержать не более двух элементов. Вот тут и происходит магия! Мы берём средний элемент нашей ноды и проталкиваем его наверх. Итог виден на картинке. Корнем стало число 12, левым сыном — число 5, правым — 17.

То, что мы сделали выше, можно назвать балансировкой 2-3-дерева. Правило в этой балансировке простое: если в ноде оказывается 3 значения, среднее мы проталкиваем наверх. Алгоритм действий зависит от трёх условий:

1. Нода является корнем. Тогда ничего не остаётся, как создать новую ноду с одним значением и сделать её новым корнем (как в нашем случае).
2. Родительская нода имеет одно значение. Тогда мы просто добавляем значение к родителю и завершаем балансировку (при этом у родителя появляется третий потомок).
3. Родительская нода имеет два значения. Тогда мы снова проталкиваем значение вверх, пока не придём к пункту 1 или 2.

Другие случаи балансировки 2-3-дерева

Окей, идём дальше. Давайте добавим число 3. Так как теперь мы не ограничиваемся одной нодой, спускаемся вниз. Понятно, что спуститься надо влево и добавить 3 к ноде со значением 5. Не забываем расставить 3 и 5 в нужном порядке. В итоге получилась нода 3-5.

Потерпите, мы близимся к самому интересному:)

Давайте добавим число 4, которое также пойдет налево и присоединится к ноде 3-5. Получится нода 3-4-5, которую, как мы уже знаем, нужно привести к нужному виду. Что делаем? Балансируем наше дерево, т.е. проталкиваем значение 4 наверх.

Теперь самое интересное. Помимо того, что мы добавим 4 к корню, мы также добавим корню третьего потомка — это будет нода, которая была больше 4. В нашем случае это 5. Картина будет выглядеть так:

Почему 5 не могла остаться на месте в своей ноде? Тут мы вспоминаем правило отсортированного дерева: значения меньше — слева, значения больше — справа. И так как 5 больше 4, мы не может оставить 5 слева, т.к. это нарушит наш инвариант. Поэтому ноде со значением 5 ничего не остаётся, кроме как переехать и стать потомком ноды 4-12 (кстати, если бы у 5 были потомки, они тоже переехали бы вместе с родителем).

Тут нужно сделать небольшую паузу и объяснить, как ориентироваться в нодах с тремя потомками. Всё просто:

1. Значение, что меньше левого значения в ноде, будет левым потомком.
2. Значение, что больше левого, но меньше правого значения в ноде, будет средним потомком.
3. Значение, что больше правого значения в ноде, будет правым потомком.

А теперь посмотрите на то, что получилось. Смело можно заявить, что это отсортированное, сбалансированное 2-3-дерево. Значения меньше лежат слева, значения больше — справа (тут, как и в случае со значениями 4-5-12, мы считаем, что 5 лежит справа от 4 и слева от 12). Корень имеет 2 значения и 3 потомка, что абсолютно соответствует описанию дерева выше. Сейчас вы можете сами попробовать добавить любое значение, чтобы удостовериться, что вы поняли логику (что произойдёт с деревом, если добавить значение 7, а затем 9?).

Окей, с самим деревом, я надеюсь, разобрались. Ноды добавляются, дерево балансируется, искать можно, всё супер. Но есть нюансы.

Главный минус такой структуры в том, что она, в отличие от бинарного дерева, неудобна в реализации. Нужно следить за количеством потомков и значением, плюс за их порядком, балансировкой (и это я ещё не говорил про удаление). Красно-чёрное дерево решает эту проблему.

Красно-чёрное дерево

Как мы выяснили, главный недостаток 2-3-дерева — структура. Тогда давайте попробуем превратить его в бинарное дерево. Чтобы добиться этого, нам нужно простое представление для 3-ноды. Давайте разделим 3-ноду на две 2-ноды и свяжем их ссылками. Пометим эти ссылки каким-нибудь свойством, например, цветом, (возьмём красный), чтобы отличать такие ссылки в дереве от всех остальных.

Вообще говоря, мы не можем пометить сами ссылки, поэтому мы помечаем ноды.

Итак, перед вами красно-чёрное дерево. Далее мы разберём несколько свойств КЧД, которые я считаю важными (но я думаю, что уже из прочитанного выше многое стало ясно).

Свойства красно-чёрного дерева

Фактически мы разбираем не просто КЧД, а левостороннее КЧД — одну из имплементаций КЧД, в которой красные ноды могут находится только слева. То есть от 3-ноды мы всегда отделяем значение меньше (что и было сделано выше). По сути своей левостороннее КЧД ничем не отличается от обычного, за исключением того, что это более простая и понятная имплементация. Аналогично левостороннему КЧД существует и правостороннее КЧД (логику его додумайте сами).

1. Две красные ноды не могут идти подряд. Это свойство приобретает смысл, если мы знаем, что красная нода — это по сути часть 3-ноды в 2-3-дереве. Ну а если две красные ноды идут подряд, то получается 4-нода, которой у нас не существует:)

2. Корень дерева всегда чёрный. Опять же, тут всё понятно: красная нода не может существовать без потомка.

3. Все null-ноды (ноды, которые не имеют потомков) — чёрные. Почему именно так, для себя объяснений я не нашел. Но хочу сказать, что это довольно удобное правило, когда дело доходит до балансировки дерева.

Раз уж мы затронули null-ноды, то стоит сказать, что в дереве у всех нод всегда должно быть два потомка, а если ссылка на потомка нулевая, то ведёт она как раз в null-ноду. На самом деле, тут встаёт вопрос в реализации, мне было удобнее добавлять null-ноду (меньше проблем с итераторами, балансировкой и прочим).

4. Высота дерева измеряется только по чёрным нодам и называется «чёрной высотой». Тут опять всё в целом становится очевидным: красная нода является только дополнением к ноде чёрной, является её частью, поэтому высоту принято считать по чёрным нодам.

На этом введение подходит к концу. В следующей части мы поговорим о том, как вставлять ноды в дерево и балансировать его.